Γρίφος: Το μήκος του σχοινιού

Ένας εύκολος σχετικά γρίφος γεωμετρίας.
Ένας κυλινδρικός σωλήνας έχει ύψος 126 cm και περίμετρο 24 cm. 

Ένα σχοινί είναι τυλιγμένο γύρω από το σωλήνα και κατά μήκος του έτσι ώστε να κάνει 7 ακριβώς στροφές ενώ τα δύο άκρα του σχοινιού ξεκινάνε από τα δύο άκρα του σωλήνα. 

Ποιο είναι το μήκος του σχοινιού;

Απάντηση στον Γρίφο 4: 2,999....=3

Κι όμως: ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΚΑΝΕΝΑ ΛΑΘΟΣ. 

Αυτό είναι το σωστό.  Και αυτή είναι η απόδειξή του.

Στους πραγματικούς αριθμούς ισχύει ο "νόμος της τριχοτομίας".

Δηλαδή αν διαλέξουμε δύο διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς όσο κοντά κι αν είναι, ΠΑΝΤΑ μπορούμε να βρούμε άπειρους ακόμα ανάμεσά τους. 

π.χ. Ανάμεσα στους 2,999 και 3 υπάρχουν οι 2,9991 και 2,9992 ...και άπειροι ακόμα...

Ανάμεσα στους 2,9991 και 2,9992 υπάρχουν οι 2,99911 και 2,99912 ...και άπειροι ακόμα..

Δηλαδή αρκεί να προσθέσουμε δεκαδικά ψηφία στον έναν και βγαίνει ένας αριθμός ανάμεσα στους δύο. 

Είναι φανερό ότι δεν μπορούμε να βρούμε ΚΑΝΕΝΑΝ αριθμό ανάμεσα στον 2,999.... και στον 3 άρα προφανώς ταυτίζονται.

Γρίφος 4: 2,999...=3 ????

Ο αριθμός 2,999.... έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία που επαναλαμβάνονται (όλα εννιάρια)

Παρακολουθείστε τον παρακάτω συλλογισμό: 

x=2,999.....

10x=29,999.....

Άρα αφαιρώντας κατά μέλη τις δύο σχέσεις:
10x-x=29,999....-2,999.....

9x=27

x=3

Από αυτόν φαίνεται ότι 2,999... = 3.

Πού είναι το λάθος; 

 Απάντηση 

Απάντηση στο Γρίφο 3: Ένας παιχνιδιάρης δάσκαλος.

Κάθε κάρτα αλλάζει πλευρά μόνο από τα παιδιά που είναι διαιρέτες της. Αν λοιπόν ένας αριθμός έχει άρτιο (ζυγό) πλήθος διαιρετών, θα μείνει με την μαύρη πλευρά επάνω. π.χ. το 15 έχει διαιρέτες : 1, 3, 5, 15 δηλαδή θα το αγγίξουν τα παιδιά με αυτό το νούμερο:

παιδί 1: άσπρη

παιδί 3: μαύρη

παιδί 5: άσπρη 

παιδί 15: μαύρη

Έτσι με την άσπρη πλευρά επάνω θα μείνουν μόνο οι κάρτες που έχουν περιττό (μονό) πλήθος διαιρετών. Αρκεί να βρούμε λοιπόν ποιοί αριθμοί από το ένα μέχρι το 100 έχουν μονό πλήθος διαιρετών.

Απάντηση στο Γρίφο 2: Το δηλητηριώδες χάπι.

Διαλέγουμε δύο τυχαίες τριάδες και τις ζυγίζουμε. 

Αν ισορροπήσουν τότε το δηλητηριώδες χάπι βρίσκεται στα δύο χάπια που έμειναν οπότε με την δεύτερη ζύγιση θα συγκρίνω αυτά τα δύο χάπια οπότε βρίσκω το δηλητηριώδες.

Αν δεν ισορροπήσουν το δηλητηριώδες θα βρίσκεται στην βαρύτερη τριάδα. Στην δεύτερη ζύγιση θα πάρω δύο τυχαία χάπια από αυτή την τριάδα και θα τα συγκρίνω. Αν ισορροπήσουν το δηλητηριώδες θα είναι το τρίτο, ενώ αν δεν ισορροπήσουν θα είναι το βαρύτερο.

Απάντηση στο Γρίφο 1: 34-80=1

Μετακινούμε το 4 πιο ψηλά ώστε να γίνει εκθέτης.
Τότε:
3⁴-80=81-80=1

Γρίφος 3: Ένας παιχνιδιάρης δάσκαλος !!!

Σε ένα σχολείο με 100 παιδιά ο δάσκαλος αποφάσισε να παίξουν ένα παιχνίδι. Αρίθμησε 100 καρτέλες  που η μία τους πλευρά ήταν άσπρη και η άλλη τους πλευρά ήταν μαύρη με τα νούμερα από το 1 έως το 100. Κάποια στιγμή μάζεψε όλα τα παιδιά, τα έβαλε στην σειρά και τους έδωσε τις εξής οδηγίες. 

Ο πρώτος θα έπαιρνε όλες τις καρτέλες και θα τις τοποθετούσε στην σειρά ώστε να φαίνεται η άσπρη τους πλευρά. 

Μετά ο δεύτερος θα περνούσε και θα αναποδογύριζε τις ζυγές καρτέλες (2,4, 6,....) και έτσι σε αυτές θα φαίνεται η  πλευρά που ήταν μαύρη.

Μετά ο τρίτος θα περνούσε και θα αναποδογύριζε την τρίτη, την έκτη, την ένατη κ.τ.λ. 

Και το ίδιο θα έκαναν με την σειρά όλοι οι μαθητές.  π.χ. ο δωδέκατος θα αναποδογύριζε, δηλαδή θα άλλαζε την πλευρά (από άσπρη σε μαύρη ή από μαύρη σε άσπρη) στις καρτέλες 12,24,36,....κ.τ.λ.

Αφού πέρασε και ο εκατοστός μαθητής βρείτε:

Ποια νούμερα έγραφαν οι καρτέλες που έμειναν με την άσπρη πλευρά τους να φαίνεται;

 Απάντηση 

Γρίφος 2: Το δηλητηριώδες χάπι

Έχεις οκτώ χάπια, όλα το ίδιο σχήμα και μέγεθος. Το ένα από αυτά ζυγίζει λίγο περισσότερο από τα άλλα και είναι δηλητηριώδες. Έχεις μια ζυγαριά ισορροπίας και επιτρέπεται να την χρησιμοποιήσεις μόνο δύο φορές. 

Πώς θα ανακαλύψεις το δηλητηριώδες χάπι;

 Απάντηση 

Γρίφος 1: 34-80=1

Μετακινώντας μόνο ένα σύμβολο (το μείον, το ίσον ή ένα ψηφίο) κάντε την παρακάτω ισότητα σωστή.
34-80=1

 Απάντηση