Απάντηση στον Γρίφο 4: 2,999....=3

Κι όμως: ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΚΑΝΕΝΑ ΛΑΘΟΣ. 

Αυτό είναι το σωστό.  Και αυτή είναι η απόδειξή του.

Στους πραγματικούς αριθμούς ισχύει ο "νόμος της τριχοτομίας".

Δηλαδή αν διαλέξουμε δύο διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς όσο κοντά κι αν είναι, ΠΑΝΤΑ μπορούμε να βρούμε άπειρους ακόμα ανάμεσά τους. 

π.χ. Ανάμεσα στους 2,999 και 3 υπάρχουν οι 2,9991 και 2,9992 ...και άπειροι ακόμα...

Ανάμεσα στους 2,9991 και 2,9992 υπάρχουν οι 2,99911 και 2,99912 ...και άπειροι ακόμα..

Δηλαδή αρκεί να προσθέσουμε δεκαδικά ψηφία στον έναν και βγαίνει ένας αριθμός ανάμεσα στους δύο. 

Είναι φανερό ότι δεν μπορούμε να βρούμε ΚΑΝΕΝΑΝ αριθμό ανάμεσα στον 2,999.... και στον 3 άρα προφανώς ταυτίζονται.

Αριθμοί όπως οι 2,3333.... ή 45,24242424.... που έχουν άπειρα επαναλαμβανόμενα δεκαδικά ψηφία (ένα ή μια ομάδα) λέγονται περιοδικοί και μπορούμε να αποδείξουμε ότι είναι ρητοί (δηλαδή μπορούν να προκύψουν από την διαίρεση δύο ακεραίων ή με άλλα λόγια να γραφούν σαν κλάσμα). Η διαδικασία είναι παρόμοια με την προηγούμενη απόδειξη.
π.χ. για τον 2,33333....
χ=2,33333...
10χ=23,3333...
τότε: 
10χ-χ=23,3333...-2,33333....
9χ=21
χ=21/9